前段時(shí)間有人問(wèn)，球的體積計算公式是什么？
由于長(cháng)期依賴(lài)各類(lèi)搜索，再加上對睡覺(jué)，刷劇，電子競技等一系列新興趣的開(kāi)發(fā)，這些似曾相識的公式早被我拋諸腦后。之后再拿起筆嘗試推導我才愕然發(fā)現，基礎的微積分計算法則好像也有些生疏了。
于是我開(kāi)始了相關(guān)探索，半天下來(lái)，不僅成功算了個(gè)球的表面積，還算了個(gè)球的體積，而這個(gè)過(guò)程，和微積分法則毫無(wú)關(guān)系。那么怎樣不用微積分就能算個(gè)球呢？
Credit: 3blue1brown
首先，拋棄了微積分這一曲線(xiàn)計算利器，我們的替代工具是：一點(diǎn)點(diǎn)相似三角形知識，一點(diǎn)點(diǎn)空間想象力，再加上中國古代數學(xué)家智慧的結晶——祖暅原理。
算個(gè)球的表面積！
眾所周知，球的表面積公式是 4πr2，正好是同半徑圓形面積的4倍，這不禁讓人浮想聯(lián)翩，為什么正好是 4 倍呢？難道圓形面積和球體面積之間有什么不可告人的秘密？順著(zhù)這個(gè)思路下去你可能會(huì )覺(jué)得完全無(wú)從下手，感到弱小，可憐，又無(wú)助。
這也正是我初期經(jīng)歷的心路歷程，直到我發(fā)現了另一個(gè)秘密：4πr2正好是這個(gè)球外接圓柱的外圍面積。
Credit: 3blue1brown
想象一下，如果把球表面劃分小塊，沿水平向四周投影，按理來(lái)說(shuō)，這樣投出的小塊就可以正好鋪滿(mǎn)外面這個(gè)圓筒。因為圓筒的面積是圓周長(cháng)乘上筒高：2πr*2r =4πr2，和里面這顆球的表面積不謀而合！
就像下圖右上角示意的那樣，球上的小塊被投影到圓筒上會(huì )變形，它們的寬度可能增大，而高度會(huì )相應變小。
Credit: 3blue1brown
小塊可以從平視和俯視兩個(gè)方向來(lái)觀(guān)察。那我們就來(lái)看看，投影過(guò)程中，我們的小塊到底經(jīng)歷了什么不為人知的變化。
先看俯視圖：
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從中心軸往外投影，聰明的你一定已經(jīng)發(fā)現，投影的距離越遠，小塊就會(huì )變得越寬。
所以緯度越高的地方，也就是越靠近上下頂點(diǎn)的小塊，投到圓筒上之后，寬度增加得越多；位于赤道上的小塊與圓筒相接，寬度也就不發(fā)生變化。
EF 被拉長(cháng)成了 CD
如果你知道相似三角形的比例關(guān)系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，這個(gè)增大的倍數是r/d，也就是
CD/EF = r/d
對于球上不同的緯度，d 會(huì )改變，而球的半徑 r 不變。越靠近兩極，d 越小，r/d 就越大，小塊的寬度增加也就越多，這和我們觀(guān)察到的現象一致。
類(lèi)似地，可以看看平視方向的情況：
Credit: 3blue1brown
顯然，這個(gè)方向上的投影會(huì )讓小塊的高度萎縮，也就是黃色的線(xiàn)段長(cháng)度會(huì )縮短。
因為球的體態(tài)圓胖，越靠近兩極，小塊越是趨近平躺，投影之后高度萎縮的也越多；而在赤道上，小塊直立，投影不改變小塊的高度。
JH 投影后萎縮成了 EF
顯然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 兩個(gè)三角形是相似三角形，根據比例關(guān)系，我們知道：
EF/JH = d/r
也就是說(shuō)，平視方向投影會(huì )讓小塊高度萎縮，縮小比例是d/r。
于是神奇的現象發(fā)生了，球上的每一個(gè)小塊經(jīng)過(guò)投影之后形狀的確會(huì )發(fā)生變化，寬度拉長(cháng)了r/d倍，同時(shí)高度萎縮了d/r倍，而這兩個(gè)倍數相乘正好等于1。
如此一來(lái)，小塊投影前后的面積其實(shí)沒(méi)有變化！僅僅利用幾個(gè)三角形，我們就開(kāi)心的證明了：計算球的面積可以用外接圓筒的面積來(lái)替代。
投影變化前后，小塊的面積不變
那么，算個(gè)球的表面積 S球= S筒= 2πr*2r = 4πr2。
祖暅原理
祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因為卡瓦列里在17世紀提出了類(lèi)似的等積原理，用于復雜幾何領(lǐng)域，但實(shí)際上祖暅的發(fā)現比他早了1100年。
冪勢既同，則積不容異這句話(huà)就出自于祖暅。如果你對高中數學(xué)課本有印象，也許記得這里的冪指體積，勢則為高度。意思就是：高度相同的物體，如果每個(gè)剖面面積也一樣，它們的體積就相等。
祖暅原理的提出本是為了解決計算牟合方蓋的體積問(wèn)題，從而算球的體積。但現在更加常見(jiàn)的用法是下面這樣:
圖中球的體積等于圓柱去掉兩個(gè)圓錐的體積，原因就是它們每個(gè)剖面的面積都相等。有興趣的小伙伴可以用半球為例，試著(zhù)計算。
利用上圖很容易發(fā)現，在高度是 h 的地方，球的截面積是：π*（r2-h2），而圓柱減去圓錐的截面積是：πr2（圓柱截面）-πh2（圓錐截面），它們正好相等。
于是，算個(gè)球問(wèn)題一下變成了算圓柱和圓錐的體積問(wèn)題。
算個(gè)球的體積！
了解了祖暅原理，我們就可以繞過(guò)微積分，直接算球了！
由祖暅原理，半球的體積經(jīng)過(guò)我們巧妙的轉化，成了用圓柱和圓錐的體積來(lái)表示。
眾所周知，圓柱體積是圓面積和高度相乘，V圓柱= πr2*r = πr3。而圓錐的體積，假如你不知道，查閱資料會(huì )發(fā)現 V圓錐= πr3/3，正好是圓柱的三分之一。
好奇寶寶也許會(huì )問(wèn)，三分之一是怎么來(lái)的？既然你誠心誠意的問(wèn)了，祖暅會(huì )大發(fā)慈悲的為你解答。
我們還是逮住之前的那個(gè)圓錐（截面面積是πh2），然后把煩人的 π 除去，截面積就成了 h2。那么誰(shuí)的截面積是用 h2表示呢？答：邊長(cháng)和高度都是 r 的四棱錐。
a. 除去 π 后，圓錐變成了四棱錐（平視圖）
b. 四棱錐每一個(gè)橫截面都是邊長(cháng)為 h 的正方形（斜視圖）
這下好了，僅僅是做了個(gè)除法，問(wèn)題似乎已經(jīng)簡(jiǎn)單多了！
但你可能還是會(huì )問(wèn)，四棱錐的體積又要怎么計算呢？別著(zhù)急，我們先好好觀(guān)察一下這個(gè)四棱錐。它的頂點(diǎn)在中心上方，感覺(jué)還是不夠友好，怎么能再變換一下形狀呢，沒(méi)錯，是時(shí)候祭出祖暅原理了。
把頂點(diǎn)移到一個(gè)角上，新的四棱錐有三條互相垂直的邊，并且體積不變
到了這里，問(wèn)題基本上已經(jīng)解決了。什么，你還沒(méi)看出來(lái)？調動(dòng)你的空間想象力，調整一下角度，把這樣的四棱錐放在正方體里似乎正合適，你能看出可以同時(shí)放進(jìn)幾個(gè)嗎？
為了讓你們相信是 3 個(gè)而精心制作的 gif 動(dòng)圖
是3個(gè)！萬(wàn)事大吉~
正方體的體積顯然是 r3，這樣一來(lái)，四棱錐體積就是 r3/3。接著(zhù)，對應圓錐的體積只需要乘上 π，V圓錐= r3/3*π。最后半球的體積 V半球= V圓柱- V圓錐= πr3-πr3/3 = 2/3 (πr3)，所以 V球= 4/3 (πr3)，是不是和書(shū)上寫(xiě)的公式一模一樣呢！
成功算球！完結撒花~
作為一期數學(xué)類(lèi)的硬核推送，小編想說(shuō)的是，很多時(shí)候只要切換一下思路，嘗試別的工具，就可能開(kāi)辟出新的道路。
所謂的數學(xué)之光，我想也就是在這里。
參考資料
Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg
Ⅱ. https://b23.tv/av33120854
來(lái)源：牛油果進(jìn)化論
編輯：Quanta Yuan
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