我們繼續聊級數，這次我們的主角是：

我們上次講到了發(fā)散和收斂，那這個(gè)級數究竟是發(fā)散的還是收斂的呢？

你一看，我的老天，這也太難了吧，我根本看不懂。

莫慌，我們還是用老辦法，一步一步來(lái)分析：

我們化簡(jiǎn)一下，可以得到：

我們展開(kāi)上面那個(gè)通式后，發(fā)現依然毫無(wú)頭緒，在這個(gè)異常復雜的數學(xué)表達式里，它究竟蘊含著(zhù)怎樣的秘密呢？

于是，我們需要理所應當地引入一些數學(xué)工具了：

首先，為了簡(jiǎn)化上面那個(gè)級數的研究?jì)热?，我們定義出一些新的東西來(lái)方便描述它：

An的意思是數列，它把這個(gè)復雜的東西包括進(jìn)去了

我們姑且把這個(gè)稱(chēng)為交錯因子

這個(gè)交錯因子有什么用呢？我給大家舉個(gè)例子：

我們引入收斂域和收斂半徑的概念：

什么是收斂域呢？舉個(gè)例子，你就明白了：

我們代-1到1之間的所有實(shí)數用可以使得上式成立，可是你假如超過(guò)了上面這個(gè)范圍就不成立了：

我們就把(-1,1)稱(chēng)為上面這個(gè)級數的收斂域

上面的級數只有在這個(gè)范圍內才是收斂的

那收斂半徑R又是什么呢？

關(guān)于收斂半徑R，大家先簡(jiǎn)單理解為收斂域的左右端點(diǎn)值（正的那個(gè)1）。

怎么求這個(gè)收斂半徑呢，今天我只請出大數學(xué)家達朗貝爾來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題。

達朗貝爾（1717～1783），法國數學(xué)家，哲學(xué)家。1717 年11月 17 日生于巴黎，1783年10月29日卒于同地。他是圣讓勒隆教堂附近的一個(gè)棄嬰 ，被一位玻璃匠收養，后來(lái)這個(gè)教堂的名字就成了他的教名 。達朗貝爾在數學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)等許多領(lǐng)域都作出了巨大的貢獻?！俣劝倏?/p>

達朗貝爾說(shuō)道，我有一個(gè)定理，能幫你求出收斂半徑：

達朗貝爾定理

于是，我們用上這個(gè)公式，進(jìn)行計算：

收斂半徑R:

我們現在得到了收斂域（-1/3,1/3), 你說(shuō)道——這就是收斂域！

然而，萊布尼茲又出來(lái)說(shuō)話(huà)了：我們必須考慮臨界的端點(diǎn)位置，數學(xué)是嚴謹的，你這個(gè)收斂域很可能缺少了東西。

既然如此，我們不得不帶進(jìn)去看一下實(shí)際情況。當x=-1/3時(shí)：

這個(gè)級數是發(fā)散的，所以不能取端點(diǎn)。

而

我們萊布尼茲交錯級數判別法：

則在這一點(diǎn)是收斂的。

所以，我們得到了真正的收斂域: