在高中數學(xué)不等式知識點(diǎn)及技巧中我們介紹了均值不等式的一些基本知識，這篇文章繼續介紹不等式的另一個(gè)重要知識點(diǎn)—柯西不等式。
一、柯西不等式的形式及記憶技巧
代數形式
（1）二維：設
，當且僅當
時(shí)取等號。
（2）多維：
，當且僅當
時(shí)取等號。
（3）記憶技巧：平方項比交叉項要大一些，不等式兩邊的總冪次一致。
向量形式
設向量
，則
，當且僅當兩個(gè)向量共線(xiàn)時(shí)取等號。
記憶技巧：根據向量點(diǎn)積和模長(cháng)計算方法即可自然得到。
三角形式
設
則
，即
，當且僅當P1、P2、O三點(diǎn)共線(xiàn)且P1、P2在O點(diǎn)兩側時(shí)取等號。
記憶技巧：三角形兩邊之和大于第三邊。
柯西不等式的證明
關(guān)于柯西不等式的證明有很多精妙的方法，向量形式和三角形式幾乎是不證自明的，本文僅給出多維代數形式的一種證明方法。
證明：構造函數
，展開(kāi)可得
由于
，可得
化簡(jiǎn)可得
取等號的條件是方程
有兩個(gè)相同的解，此時(shí)有：
（此時(shí)方程的解為0）或
，即
二、常見(jiàn)題型
利用柯西不等式的核心有兩點(diǎn)：一是注意拼湊，在已知條件和要求的式子之間尋找聯(lián)系；二是注意不等式兩邊冪次的變化，這里同樣需要注意常數的應用，在不知不覺(jué)間完成升冪或者降冪，進(jìn)而使問(wèn)題得解或者最起碼使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。
1.求最大值（定高冪次，求低冪次）
例1：設0,且a+b=5,則sqrt{a+1}+sqrt{b+3}的最大值是（）" style="width: 519px; height: 28px;">
解析：直接套用柯西不等式
當且僅當
時(shí)取等號。
例2：已知正數
解析：要求的式子與已知條件并不是直接的平方關(guān)系，不能直接套用例1 的方法?？紤]柯西不等式的向量形式，設
,則
又
則有
∴
，而0,∴m+nleq2" style="width: 233px; height: 28px;">
思考：（1）均值不等式也具有冪次變化的功能，用均值不等式證明該題是否可行？
（2）已知條件改為
,結論是否仍然成立？
在處理給定高冪次的題型時(shí)，要注意發(fā)掘隱含的高冪次等式。
例3：求函數
的最大值
解析：輔助角公式可以直接求解，這里我們采用柯西不等式
當且僅當
時(shí)取等號。
例4：求函數
解析：顯然
,易求最大值為
.
2.求最小值（定低冪次，求高冪次）
例5：實(shí)數
解析：
,當且僅當
時(shí)取等號。
∴
。
例6：已知
解析：
,當且僅當
時(shí)取等號
∴
.
例7：已知
解析：由于系數的關(guān)系，此題比前兩個(gè)例題稍顯復雜，但本質(zhì)是一樣的
,當且僅當
時(shí)取等號
∴
3.分式型
如果分母的和為定值，則乘以該定值可以對分式進(jìn)行有效簡(jiǎn)化，該方法類(lèi)似于高中數學(xué)不等式知識點(diǎn)及技巧中提到的妙用常數法。
例8：已知正實(shí)數
解析：利用均值不等式中的妙用常數法可以解決這類(lèi)問(wèn)題，此處介紹柯西不等式的方法。
，當且僅當
時(shí)取等號。
因此所求最小值為25/8.
例9：已知正數
,求證
解析：分母之和為定值3，給分式乘以分母之和，有
，即可得證。
此題采用均值不等式也可以做，但是當項數較多時(shí)，直接采用柯西不等式更加簡(jiǎn)單明了。
上述例題屬于基本題型，分母之和為定值，掌握柯西不等式的基本形式一般都能輕松應對。有時(shí)候題目的條件與所求結果之間可能需要一定的處理才能達到應用柯西不等式的條件。
?例10：已知正常數
解析：此題三角函數在分母上，不能直接套用柯西不等式。分析可知，我們需要給y乘以一個(gè)關(guān)于正弦和余弦函數的線(xiàn)性組合，即可初步得到最小值，即
,
當且僅當0,n>0)" style="width: 276px; height: 39px;">
時(shí)取等號.進(jìn)一步根據三角恒等式，化為給定高冪次的情形，即
,當且僅當
時(shí)取等號
兩個(gè)取等條件同時(shí)成立，可得
,不妨令
解：
∵
當且僅當
時(shí)取等號
,當且僅當
時(shí)取等號
∴
，即
，當且僅當
時(shí)取等號
所以y的最小值為
4.分離參數法（多參數）
求某參數的取值范圍，一般需要將該參數分離出來(lái)，進(jìn)而利用柯西不等式。
例11：已知
，求y的取值范圍。
解析：分離參數y至等式的一邊，可得
解得
5.待定系數法
這類(lèi)方法常用于含有根式與一次項的和式，
例12：已知0,a+sqrt{b^2+8}=4,則y=frac{3}{a}+frac{1}的最小值是（）。" style="width: 527px; height: 44px;">
解析：若能得到0" style="width: 240px; height: 31px;">
的形式，則可得到
的形式，為所求函數運用柯西不等式創(chuàng )造條件。
取參數0" style="width: 61px; height: 28px;">
,則
∴
,即
（1）
∴
（2)
聯(lián)立式（1）、（2）的取等條件
解得
此時(shí)y取得最小值4.
例13：已知正實(shí)數
的最小值。
解析：為了向已知條件靠攏，最終應湊成
的形式。因此，應用柯西不等式對所求函數進(jìn)行變形處理。引入參數0" style="width: 93px; height: 28px;">
,取等條件
(1)
,取等條件
(2)
∴
為了應用已知條件，令
(3)
聯(lián)立（1）、（2）、（3）及已知條件
,解得
所以
6.取等條件在方程組中的應用
有時(shí)候題目給定的未知數數量多于方程數量時(shí)應有所警覺(jué)，注意取等條件，這里需要有一定的數學(xué)直覺(jué)。
例14：解實(shí)數方程組
解析：3個(gè)未知數兩個(gè)方程，常規方法無(wú)法求解方程組，但是根據柯西不等式可知
而
，即上式取到等號
∴
易求出
例15：實(shí)數
,則
解析：未知數數量多于方程數量，考慮不等式取等號的條件
∵
而題中已知
∴
解得
三、小結
柯西不等式可以在不同冪次的代數式之間構建橋梁，解題時(shí)應注意通過(guò)一定的變形在已知條件和要求的問(wèn)題之間建立聯(lián)系，有時(shí)候可能需要不止一次的應用不等式（注意不等式的方向和取等條件），應時(shí)刻關(guān)注取等條件，尤其在未知數數量多余方程數量的條件下，取等條件可能就是破題的關(guān)鍵。